Question

4．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=2，则满足$\frac{1001}{1000}＜\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}＜\frac{11}{10}$的n的最大值是（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 推导出${a_2}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$，从而数列{a_n}是等比数列，进而${S_n}=2-2•{（\frac{1}{2}）^n}$，由此得到$\frac{1}{1000}＜{（\frac{1}{2}）^n}＜\frac{1}{10}$，从而能求出n的最大值．

解答 解：∵数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=2，①
∴当n=1时，2a₁+S₁=2，得${a_2}=\frac{1}{2}$．
当n≥2时，有2a_n+S_n-1=2，②
①②两式相减得${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$．
再考虑到${a_2}=\frac{1}{2}{a_1}$，所以数列{a_n}是等比数列，故有${S_n}=2-2•{（\frac{1}{2}）^n}$．
因此原不等式足$\frac{1001}{1000}＜\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}＜\frac{11}{10}$化为$\frac{1001}{1000}＜\frac{{2-2•{{（\frac{1}{2}）}^{2n}}}}{{2-2•{{（\frac{1}{2}）}^n}}}＜\frac{11}{10}$，化简得$\frac{1}{1000}＜{（\frac{1}{2}）^n}＜\frac{1}{10}$，
得n=4，5，6，7，8，9，所以n的最大值为9．
故选：B．

点评 本题考查数列不等式的项数n的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．