Question

【题目】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，点在椭圆短轴上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过椭圆的右焦点作的平行线，交曲线于两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：(1)由题意布列关于a，b的方程组，从而得到椭圆的方程；

(2) 设，直线的方程为，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系得到，进而表示面积，结合换元法及对勾函数的性质求最值即可.

详解：（1）由，知焦点坐标为，所以，

由已知，点的坐标分别为，

又，于是，

解得，

所以椭圆的方程为；

（2）设，直线的方程为，

由，可得，

则，

所以，

令，则，

所以在上单调递增，

所以当时，取得最小值，其值为9.

所以的面积的最大值为.