【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,若直线
与曲线
相切;
(1)求曲线的极坐标方程与直线
的直角坐标方程;
(2)在曲线上取两点
,
与原点
构成
,且满足
,求
面积的最大值.
【答案】(1),
;(2)
【解析】
(1)求出直线l的直角坐标方程为y2,曲线C是圆心为(
,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切,求出r=2,曲线C的普通方程为(x
)2+(y﹣1)2=4,由此能求出曲线C的极坐标方程.(2)设M(ρ1,θ),N(ρ2,
),(ρ1>0,ρ2>0),由
2sin(2
)
,由此能求出△MON面积的最大值.
(1)∵直线l的极坐标方程为,
∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y2,
曲线C是圆心为(,1),半径为r的圆,直线l与曲线C相切,
可得r2,
∵曲线C的参数方程为(r>0,φ为参数),
∴曲线C的普通方程为(x)2+(y﹣1)2=4,
所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,
即.
(2)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,),(ρ1>0,ρ2>0),
4sin(
)sin(
)=2sinθcosθ+2
=sin2θ2sin(2
)
,
当时,
,故
所以△MON面积的最大值为2.
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【题目】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩
进行分析.下面是该生7次考试的成绩.
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;
(2)已知该生的物理成绩与数学成绩
是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议.
参考公式:方差公式:,其中
为样本平均数.
,
。
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是菱形,
,
为等边三角形,
是线段
上的一点,且
平面
.
(1)求证:为
的中点;
(2)若为
的中点,连接
,
,
,
,平面
平面
,
,求三棱锥
的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点也是椭圆
的一个焦点,点
在椭圆短轴
上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过椭圆的右焦点
作
的平行线,交曲线
于
两点,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的焦距为4,且过点
.
(1)求椭圆的方程
(2)设椭圆的上顶点为
,右焦点为
,直线
与椭圆交于
、
两点,问是否存在直线
,使得
为
的垂心,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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