【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的焦距为4,且过点
.
(1)求椭圆的方程
(2)设椭圆的上顶点为
,右焦点为
,直线
与椭圆交于
、
两点,问是否存在直线
,使得
为
的垂心,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,若直线
与曲线
相切;
(1)求曲线的极坐标方程与直线
的直角坐标方程;
(2)在曲线上取两点
,
与原点
构成
,且满足
,求
面积的最大值.
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【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组100只,其中
组小鼠给服甲离子溶液,
组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于
”,根据直方图得到
的估计值为
.
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
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【题目】判断下列命题的真假.
(1)过一条直线的平面有无数多个;
(2)如果两个平面有两个公共点,那么它们就有无数多个公共点,并且这些公共点都在直线
上;
(3)两个平面的公共点组成的集合,可能是一条线段;
(4)两个相交平面可能存在不在一条直线上的3个公共点.
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【题目】某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加,为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办随机统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:
(Ⅰ)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(Ⅱ)由频率分布直方图可认为该贫困地区农民年收入服从正态分布
,其中
近似为年平均收入
,
近似为样本方差
,经计算得
.利用该正态分布,求:
(i)在2018年脱贫攻坚工作中,该地区约有的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数约为多少?
参考数据:.若
,则
;
;
.
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【题目】已知动点满足:
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设是轨迹
上的两个动点,线段
的中点
在直线
上,线段
的中垂线与
交于
两点,是否存在点
,使以
为直径的圆经过点
,若存在,求出
点坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的5项预赛成绩记录如下:
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率;
(3)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.
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