【题目】已知二次函数f(x)满足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1,求函数f(x2+1)的最小值.
【答案】
【解析】
设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,推导出f(0)=c=2,2ax-a+b=2x+1,从而f(x)=x2+2x+2,由此能求出函数f(x2+1)的最小值.
解:∵二次函数f(x)满足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1,
∴设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,
∴f(0)=c=2.
ax2+bx+c-a(x-1)2-b(x-1)-c=2x+1.
∴2ax-a+b=2x+1,
∴,解得,
∴f(x)=x2+2x+2,
令t=x2+1,则t≥1.
函数f(x2+1)即为f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1,
又f(t)在[1,+∞)上单调递增.
∴f(t)min=f(1)=5,
∴函数f(x2+1)的最小值为5.
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【题目】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
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【题目】设函数f(x)=lnx﹣x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明当x∈(1,+∞)时,1< <x;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>cx .
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【题目】已知A=log23log316,B=10sin210°,若不等式Acos2x-3mcosx+B≤0对任意的x∈R都成立,求实数m的取值范围.
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【题目】设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1 , 直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
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【题目】设直线l1 , l2分别是函数f(x)= 图象上点P1 , P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1 , l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
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