Question

【题目】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．
（1）若n=19，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

Answer 1

【答案】
（1）

解：当n=19时，

y= =

（2）

解：由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，

更换的易损零件数为17个频率为0.16，

更换的易损零件数为18个频率为0.24，

更换的易损零件数为19个频率为0.24

又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．

则n≥19

∴n的最小值为19件

（3）

解：假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，

所须费用平均数为： （70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）

假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，

所须费用平均数为 （90×4000+10×4500）=4050（元）

∵4000＜4050

∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件

【解析】（1）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（2）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（3）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．；本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义和频率分布直方图的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．