Question

【题目】设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．

（Ⅰ）若函数f（x）在[0，2]上单调，求a的取值范围；

（Ⅱ）若f（x）在闭区间[m，n]上单调递增（其中m≠n），且{y|y=f（x），m≤x≤n}=[m，n]，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（-∞，]∪[-，+∞）（Ⅱ）[-，0）

【解析】

（Ⅰ）二次函数的对称轴或可解得或；

（Ⅱ）问题转化为方程f（x）=x在[，+∞）上有两个不相等的实数根，然后构造函数G（x）=f（x）-x，利用二次函数的图象列式可解得．

（Ⅰ）当-≤0，即a≥-时，f（x）在[0，2]上单调递增，

当-≥2，即a时，f（x）在[0，2]上单调递减；

综上所述：a的取值范围是（-∞，]∪[-，+∞）

（Ⅱ）因为f（x）在[m，n]上递增，则满足

，

即方程f（x）=x在[-，+∞）上有两个不相等的实数根，

设F（x）=f（x）-x=x2+2ax+a2+3a，

则，则-，

综上所述：实数a的取值范围是[-，0）