Question

【题目】已知动点满足：

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设是轨迹上的两个动点，线段的中点在直线上，线段的中垂线与交于两点，是否存在点，使以为直径的圆经过点，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（1）利用椭圆定义即可得到动点的轨迹的方程。

（2）讨论直线存在和不存在，当斜率存在时，设存在点直线的斜率为，运用点差法可得，得到的直线方程为，然后联立直线与椭圆方程求解。

详解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）当直线垂直于轴时，直线方程为，

此时，，不合题意；

当直线不垂直于轴时，设存在点，直线的斜率为，

由得：，则

故，此时，直线斜率为，的直线方程为

即

联立消去，整理得：

所以

由题意，于是

，因为在椭圆内，，符合条件；

综上：存在两点符合条件，坐标为.