【题目】海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深(单位:米)的关系表:
时刻 | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
水深 | 10.0 | 13.0 | 9.9 | 7.0 | 10.0 | 13.0 | 10.1 | 7.0 | 10.0 |
(1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系;
(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离地面的距离)为6.5米.
①如果该船是旅游船,1:00进港,希望在同一天内安全出港,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?
②如果该船是货船,在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5米的速度减少,由于台风等天气原因该船必须在10:00之前离开该港口,为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口,那么该船在什么整点时刻必须停止卸货(忽略出港所需时间)?
【答案】(1)(2)①16个小时②为了安全,货船在整点时刻6时必须停止御货
【解析】
(1)根据函数图像的最大值与最小值求出A,h,周期与,再由周期求出
,即可求得解析式;(2) ①由题意得,
时就可以进出港,即
,解不等式得
,又
,求出t的范围,分析出离港时间即可得解;②由题意得
,画出两函数的图像,由
且
知船在整点时刻6时必须停止御货.
解析(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图.如图.
根据图象,可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系.
由数据和散点图可以得出,
,
,
.
由,得
,
所以这个港口水深y与时间t的关系可用近似描述.
(2)①由题意得,时就可以进出港,令
得
,所以
,解得
,
又,∴
或
.
由于该船1:00进港,所以可以17:00离港,
又在1:00到17:00这段时间内,水深最浅时为9:00,且该时刻水深为7米,大于6.5米,
所以在同一天安全出港,在港内停留的最长时间是16个小时.
②设在x时刻货船航行的安全水深为y,那么.
在同一坐标系下画出与
的图象.
设,
由且
知,为了安全,货船在整点时刻6时必须停止御货.
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【题目】某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数:①;②
;③
;④
(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;
(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为,人均
为4千美元时,年人均A饮料的销售量为
,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少.
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【题目】判断下列命题的真假.
(1)过一条直线的平面有无数多个;
(2)如果两个平面有两个公共点,那么它们就有无数多个公共点,并且这些公共点都在直线
上;
(3)两个平面的公共点组成的集合,可能是一条线段;
(4)两个相交平面可能存在不在一条直线上的3个公共点.
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【题目】某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加,为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办随机统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:
(Ⅰ)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(Ⅱ)由频率分布直方图可认为该贫困地区农民年收入服从正态分布
,其中
近似为年平均收入
,
近似为样本方差
,经计算得
.利用该正态分布,求:
(i)在2018年脱贫攻坚工作中,该地区约有的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数约为多少?
参考数据:.若
,则
;
;
.
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【题目】为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数y与月x份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?
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【题目】已知动点满足:
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设是轨迹
上的两个动点,线段
的中点
在直线
上,线段
的中垂线与
交于
两点,是否存在点
,使以
为直径的圆经过点
,若存在,求出
点坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示,在四棱锥底面
中,
.回答下面的问题.
(1)在侧面中能否作一条直线段使其与
平行?如果能,请写出作图过程并给出证明;如果不能,请说明理由.
(2)在侧面中能否作一条直线段使其与
平行?如果能,请写出作图过程并给出证明;如果不能,请说明理由.
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