Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (理科14分文科12分)已知点F(1，0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上运动．设P(0，b)，M(a，0)，且，动点N满足 (1) 求点N的轨迹C的方程 (2) F′为曲线C的准线与x轴的交点，过点F′的直线l交曲线C于不同的两点A、B，若D为AB中点，在x轴上存在一点E，使，求的取值范围(O为坐标原点) (3) (理科做)Q为直线x＝－1上任一点，过Q点作曲线C的两条切线l1，l2，求证l1⊥l2

Answer 1

答案：
解析：

(1)	P(0，b)　M(a，0)没N(x，y)由　　　　① 由　　　　② 将②代入①得曲线C的轨迹方程为y2＝4x　　　　　　　理科5分　　　　文科6分
(2)	点F′(－1，0)，设直线l：y＝k(x＋1)代入y2＝4x k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0 由　　　　　　　　　　理科7分　　　　　　文科8分 设A(x1，y1)　B(x2，y2)　D(x0，y0)　则 故直线DE方程为 令y＝0得 即的取值范围是(3，＋∞)　　　　　　理科10分　　　　　文科12分
(3)	设点Q的坐标为(－1，t)，过点Q的切线为：y－t＝k(x＋1) 代入y2＝4x消去x整理得ky2－4y＋4t＋4k＝0　　　　　　　　　　　12分 △＝16－16k(t＋k)令 两切线l1，l2的斜率k1，k2是此方程的两根 ∴k1·k2＝－1故l1⊥l2　　　　　　　　　　　14分