Question

7．已知函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}-3，-1＜x≤0\\{x^2}-3x+2，0＜x≤1\end{array}$，若方程g（x）-mx-m=0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是$m∈（-\frac{9}{4}，-2]∪[0，2）$．

Answer 1

分析 g（x）-mx-m=0可化为g（x）=m（x+1），从而化为函数y=g（x）与y=m（x+1）的图象有两个不同的交点；再讨论以确定实数m的取值范围．

解答 解：由g（x）-mx-m=0得g（x）=m（x+1），
原方程有两个相异的实根等价于两函数y=g（x）与y=m（x+1）的图象有两个不同的交点．
当m＞0时，易知临界位置为y=m（x+1）过点（0，2）和（1，0），
分别求出这两个位置的斜率k₁=2和k₂=0，
由图可知此时m∈[0，2）；
当m＜0时，设过点（-1，0）函数g（x）=$\frac{1}{x+1}$-3，x∈（-1，0]的图象作切线的切点为（x₀，y₀），
则由函数的导数为g′（x）=-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{{x}_{0}+1}-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{1}{3}}\\{{y}_{0}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
得切线的斜率为k₁=-$\frac{9}{4}$，而过点（-1，0），（0，-2）的斜率为k₁=-2，
故可知m∈（-$\frac{9}{4}$，-2]，
则m∈（-$\frac{9}{4}$，-2]∪[0，2）．
故答案为：$m∈（-\frac{9}{4}，-2]∪[0，2）$．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．