Question

设抛物线y²=8x与其过焦点的斜率为1的直线交于A、B两点，O为坐标原点，则

OA

•

OB

 

．

Answer 1

分析：求出抛物线的焦点的坐标，用点斜式求得直线AB的方程，代入抛物线y²=8x的方程化简，利用一元二次方程根与系数的关系，求出 x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，进而求得y₁•y₂的值，由

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂  运算求得结果．

解答：解：抛物线y²=8x中，p=4，

p

2

=2，故抛物线的焦点的坐标为（2，0），设A、B两点的坐标分别为
（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），由题意有可得 直线AB的方程为  y-0=x-2，即 y=x-2，
代入抛物线y²=8x的方程化简可得  x²-12x+4=0，∴x₁+x₂=12，x₁•x₂=4，
∴y₁•y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=-16，
∴

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂ ）=x₁•x₂+y₁•y₂=4-16=-12，
故答案为-12．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，两个向量的数量积公式的应用，求出x₁•x₂ 和y₁•y₂的值，是解题的关键．