Question

9．已知P（x₀，y₀）是单位圆上任一点，将射线OP绕点O顺时针转$\frac{π}{3}$到OQ交单位圆与点Q（x₁，y₁），若my₀-y₁的最大值为$\frac{3}{2}$，则实数m=$\frac{1±\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 设P（cosα，sinα），则Q（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），则my₀-y₁=msinα-sin（α+$\frac{π}{3}$），整理后利用辅助角公式化积，再由my₀-y₁的最大值为$\frac{3}{2}$，列关于m的等式求得m的值．

解答 解：设P（cosα，sinα），则Q（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），
即y₀=sinα，y₁=sin（α+$\frac{π}{3}$），
则my₀-y₁=msinα-sin（α+$\frac{π}{3}$）
=（m-$\frac{1}{2}$）sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα
=$\sqrt{（m-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$sin（α+β），
∵my₀-y₁的最大值为$\frac{3}{2}$，
∴$\sqrt{（m-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$=$\frac{3}{2}$，解得m=$\frac{1±\sqrt{6}}{2}$．
故答案为$\frac{1±\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，注意单位圆、三角函数的性质的合理运用，属于中档题．