Question

9£®ÒÑÖªÍÖÔ²C£º$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1£¨a£¾b£¾0£©µÄ×ó¡¢ÓÒ½¹µã·Ö±ðΪF₁¡¢F₂£¬µãPÔÚÍÖÔ²ÉÏ£¬ÇÒ¡÷PF₁F₂ÊǸßΪ$\sqrt{3}$µÄµÈ±ßÈý½ÇÐÎ
£¨1£©ÇóÍÖÔ²CµÄ·½³Ì
£¨2£©ÒÑÖª¶¯µãQ£¨m£¬n£©£¨mn¡Ù0£©ÔÚÍÖÔ²CÉÏ£¬µãA£¨0£¬$\sqrt{3}$£©£¬Ö±ÏßAQ½»xÖáÓÚµãM£¬µãQ¡äΪµãQ¹ØÓÚxÖáµÄ¶Ô³Æµã£¬Ö±ÏßAQ¡ä½»xÖáÓÚµãN£¬ÈôÔÚyÖáÉÏ´æÔÚµãK£¨0£¬t£©£¬Ê¹µÃ¡ÏOKM=¡ÏONK£¬ÇóÂú×ãÌõ¼þµÄµãKµÄ×ø±ê£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÓÉÒÑÖªÖС÷PF₁F₂ÊǸßΪ$\sqrt{3}$µÄµÈ±ßÈý½ÇÐΣ¬Çó³öa£¬bÖµ£¬¿ÉµÃÍÖÔ²CµÄ·½³Ì
£¨2£©ÏÈÇó³öM£¬NÁ½µãµÄºá×ø±ê£¬½ø¶ø¸ù¾Ý¡ÏOKM=¡ÏONK£¬¿ÉµÃ|OK|²=|OM|•|ON|£¬½ø¶ø¿ÉµÃµãKµÄ×ø±ê£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ß¡÷PF₁F₂ÊǸßΪ$\sqrt{3}$µÄµÈ±ßÈý½ÇÐΣ¬
¡àa=2c=2£¬b=$\sqrt{3}$£¬
¡àa²=4£¬b²=3£¬
¡àÍÖÔ²CµÄ·½³ÌΪ£º$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1£¬

£¨2£©ÉèM£¨x₁£¬0£©£¬N£¨x₂£¬0£©£¬
ÓÉQ£¬A£¬MÈýµã¹²Ïߵãº$\frac{-\sqrt{3}}{{x}_{1}}=\frac{n-\sqrt{3}}{m}$£¬
¡àx₁=$\frac{-\sqrt{3}m}{n-\sqrt{3}}$£¬
ͬÀíÓÉQ¡ä£¬A£¬NÈýµã¹²Ïߵãºx₂=$\frac{\sqrt{3}m}{n+\sqrt{3}}$
Èô¡ÏOKM=¡ÏONK£¬Ôòtan¡ÏOKM=tan¡ÏONK£¬
¡à$\frac{\left|OM\right|}{\left|OK\right|}=\frac{\left|OK\right|}{\left|ON\right|}$£¬¼´|OK|²=|OM|•|ON|£¬
ÓÖ¡ß-$\sqrt{3}$£¼n£¼$\sqrt{3}$£¬ÇÒn¡Ù0£¬
¡àt²=|$\frac{-\sqrt{3}m}{n-\sqrt{3}}$|•|$\frac{\sqrt{3}m}{n+\sqrt{3}}$|=$\frac{3{m}^{2}}{3-{n}^{2}}$£¬
Ó֡߶¯µãQÔÚÍÖÔ²CÉÏ£¬
¡à3m²+4n²=12£¬
¡àt²=$\frac{{12-4n}^{2}}{3-{n}^{2}}$=4£¬
½âµÃ£ºt=¡À2£¬
¡àKµÄ×ø±êΪ£¨0£¬-2£©£¬»ò£¨0£¬2£©

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éµÄ֪ʶµãÊÇÍÖÔ²µÄ±ê×¼·½³Ì£¬Ö±ÏßÓëÍÖÔ²µÄλÖùØϵ£¬ÄѶÈÖеµ£®