Question

19．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B，若△ABF₂是以∠ABF₂为顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率的平方为（　　）

• A． 5+2$\sqrt{2}$
• B． 4+2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题设条件，利用双曲线的定义，推导出|AF₂|=4a，再利用勾股定理确定a和c的关系式，由此能求出结果．

解答 解：∵过F₁的直线l与双曲线的左支相交于A、B两点，
且三角形ABF₂是以∠B为直角的等腰直角三角形，
∴设|BF₂|=|AB|=x，∠ABF₂=90°，
∴|AF₁|=x-|BF₁|=2a，
∴|AF₂|=4a，
∵∠ABF₂=90°，
∴2x²=16a²，解得|BF₂|=|AB|=2$\sqrt{2}$a，
∴|BF₁|=（2$\sqrt{2}$+2）a，
∴[（2$\sqrt{2}$+2）a]²+（2$\sqrt{2}$a）²=（2c）²，
∴e²=5+2$\sqrt{2}$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的离心率的平方的求法，解题时要熟练掌握双曲线的性质，注意数形结合思想的合理运用．