Question

10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x-1|，若方程f（x）=$\sqrt{x+a}$有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{5}{4}$，1）
• B． （$\frac{3}{4}$，1）
• C． （$\frac{4}{5}$，1）
• D． （-1，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 由题意和偶函数的性质求出f（x）的解析式，化简后可得f²（x），将f（x）=$\sqrt{x+a}$两边平方后，画出函数y=x+a与y=f²（x）的图象，并画出两条临界线，由特殊点和导数的几何意义分别求出a的值，将方程根的个数问题转化为函数图象交点个数的问题，由图象求出实数a的范围．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=|x-1|，∴f（-x）=|-x-1|=|x+1|，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（-x）=|x+1|，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-1|，x≥0}\\{|x+1|，x＜0}\end{array}\right.$，即${f}^{2}（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}，x≥0}\\{（x+1）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
由f（x）=$\sqrt{x+a}$得，f²（x）=x+a，
画出函数y=x+a与y=f²（x）的图象，如图所示：
由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，
且A（1，1），此时a=1，
当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，
由图知，y=f²（x）=（x+1）²=x²+2x+1，
则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=$-\frac{1}{2}$，则y=$\frac{1}{4}$，
此时切点P（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入y=x+a得a=$\frac{3}{4}$，
∵方程f（x）=$\sqrt{x+a}$有4个不相等的实根，
∴函数y=x+a与y=f²（x）的图象有四个不同的交点，
由图可得，实数a的取值范围是（$\frac{3}{4}$，1），
故选B．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，函数与方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．