Question

【题目】已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，，，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设动圆半径为，判断圆与圆内切，从而可得，，由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为4的椭圆，根据椭圆的标准方程即可求解.

（2）分类讨论若或的斜率不存在，求出四边形的面积；若两条直线的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为，根据点斜式求出、的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，由，利用基本不等式即可求解.

解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，故圆与圆内切，

则，，∴，

由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为4的椭圆，

，，，

∴轨迹的方程为.

（2）若或的斜率不存在，四边形的面积，

若两条直线的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为，

则的方程为，的方程为，

联立方程组，得，

由韦达定理得，，

，

设，，则，

同理可得，

∴

，

当且仅当，即时等号成立.

∵，因此当时，四边形的面积取得最小值为.

另解一：

.

当即时等号成立.

另解二：也可以令换元求解.