Question

己知f（x）为定义域为 R 内的减函数，且f(x)=

logax (2a-1)x+4a

(x≥1) (x＜1)

，则实数a的取值范围为

[

1

6

，

1

2

）

．

Answer 1

分析：根据对数函数在区间[1，+∞）是减函数得a∈（0，1），由一次函数f（x）=（2a-1）x+4a在区间（-∞，1）是减函数，得到a＜

1

2

，再根据不等式（2a-1）x+4a≥log_ax在x=1时成立解出a≥

1

6

，最后将各种情况取交集即得实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）为定义域为R内的减函数，
∴当x∈[1，+∞）时，f（x）=log_ax是减函数，可得a∈（0，1）
当x∈（-∞，1）时，f（x）=（2a-1）x+4a是减函数，得2a-1＜0，解之得a＜

1

2

因此，a的取值范围为（0，

1

2

）
又∵（2a-1）x+4a≥log_ax在x=1时成立
∴（2a-1）×1+4a≥log_a1=0，解之得a≥

1

6

综上所述，满足条件的实数a的取值范围为[

1

6

，

1

2

）．
故答案为：[

1

6

，

1

2

）

点评：本题给出分段函数，在已知函数在R上为减函数的情况下求参数a的取值范围，着重考查了基本实数函数的单调性和分段函数单调性的处理等知识，属于中档题．