Question

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆E：与圆的一个交点到椭圆E的两焦点的距离之和为．

（Ⅰ）求圆和椭圆E的方程；

（Ⅱ）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）圆C的方程为；椭圆E的方程为

（Ⅱ）Q（，）

【解析】（Ⅰ）设圆心坐标为（m，n）（m<0，n>0），则该圆的方程为．……1分，已知该圆与直线y＝x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则＝2．，即＝4…… ①……3分，又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入，得m²＋n²＝8．……②……5分，联立方程①和②组成方程组解得，

∴圆C的方程为．……7分，

∵一个交点到椭圆两焦点的距离之和为，∴，，

∴椭圆E的方程为．……9分

（Ⅱ）由椭圆E的方程，得其焦距c＝4，∴右焦点为F（4，0），那么＝4．……10分

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，可转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆与圆C：的圆的交点坐标．联立方程组：，……12分，解得或．

∴存在异于原点的点Q（，），使得该点到右焦点F的距离等于的长．……14分