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(2009•聊城一模)某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费1.1万元,团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者,享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域A,B,C,D,E所对应的圆心角的比值分别为1:2:3:4:5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域C,可获得价值3元的学习用品).
(Ⅰ)预计全校捐款10元者将会达到1500人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗?
(Ⅱ)如果学生甲捐款20元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值6元的学习用品的概率.
分析:(Ⅰ)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E.其概率分别为P(A)=
1
1+2+3+4+5
=
1
15
P(B)=
2
15
P(C)=
3
15
=
1
5
P(D)=
4
15
P(E)=
5
15
=
1
3
.由此能求出结果.
( II)记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F,P(F)=
C
1
2
×
1
15
×
5
15
+
3
15
×
3
15
+
C
1
2
×
2
15
×
4
15
=
7
45
.由此能求出学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率.
解答:解:(Ⅰ)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E.
则其概率分别为P(A)=
1
1+2+3+4+5
=
1
15
P(B)=
2
15
P(C)=
3
15
=
1
5
P(D)=
4
15

P(E)=
5
15
=
1
3
.…(3分)
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为ζ,则的分布列为:
ζ 1 2 3 4 5
P
1
3
4
15
1
5
2
15
1
15
Eζ=1×
1
3
+2×
4
15
+3×
1
5
+4×
2
15
+5×
1
15
=
7
3
.…(6分)
若捐款10元者达到1500人次,那么购买学习用品的款项为1500Eζ=3500(元),
除去购买学习用品的款项后,剩余款项为1500×10-3500=11500(元),
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗.…(8分)
( II)记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F,则P(F)=
C
1
2
×
1
15
×
5
15
+
3
15
×
3
15
+
C
1
2
×
2
15
×
4
15
=
7
45

即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为
7
45
.…(12分)
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查学生的运算能力,考查学生探究研究问题的能力,解题时要认真审题,理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,体现了化归的重要思想.
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=
0
0

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