Question

已知关于x方程xlnx=ax+1（a∈R），下列说法正确的是（　　）

A．方程可能没有实数根

B．方程可能有两个实数根

C．方程一定有一个实数根

D．方程一定有两个实数根

Answer 1

分析：先将方程变形为lnx=a+

1

x

，构造函数f（x）=lnx-a-

1

x

，确定函数f（x）=lnx-a-

1

x

在（0，+∞）上单调增，再利用零点存在定理即可得到结论．

解答：解：∵x＞0，∴方程xlnx=ax+1可化为lnx=a+

1

x

构造函数f（x）=lnx-a-

1

x

，则f′（x）=

1

x

+

1

x2

＞0
∴函数f（x）=lnx-a-

1

x

在（0，+∞）上单调增
∵x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＞0
∴方程一定有一个实数根
故选C．

点评：本题重点考查方程根的存在性，考查导数知识的运用，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性．