Question

已知函数f（x）=

(3a-1)x-2  x＜1 logax         x≥1

，现给出下列命题：
①函数f（x）的图象可以是一条连续不断的曲线；
②能找到一个非零实数a，使得函数f （x）在R上是增函数；
③a＞1时函数y=f （|x|） 有最小值-2．
其中正确的命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：依题意，对a分0＜a＜1与a＞1讨论，再利用函数的性质对①②③进行分析即可．

解答：解：∵f（x）=

(3a-1)x-2 ，x＜1 logax， x≥1

，
∴0＜a＜1或a＞1，
∴当x=1时，log_a1=0，而（3a-1）×1-2=3a-3≠0，
∴函数f（x）的图象不是一条连续不断的曲线，即①错误；
对于②，要使函数f （x）在R上是增函数，则a＞1，
假设存在a₀＞1，使得函数f （x）在R上是增函数，
则当x=1时，（3a₀-1）×1-2≤0，
∴a₀≤1，这与a₀＞1矛盾，
∴不存在a₀＞1，使得函数f （x）在R上是增函数，即②错误；
对于③，∵f（x）=

(3a-1)x-2 ，x＜1 logax， x≥1

，
∴f（0）=-2，
又当a＞1时，f（x）=（3a-1）x-2在[0，1]上为增函数，在[0，1]上的最小值为f（0）=-2；
f（x）=log_ax在[1，+∞）上为增函数，在区间[1，+∞）上，f（x）=log_ax的最小值为f（1）=0，
∴当x≥0时，f（x）=

(3a-1)x-2 ，x＜1 logax， x≥1

，的最小值为-2，
又函数y=f （|x|） 为偶函数，
∴a＞1时函数y=f （|x|） 有最小值-2，即③正确．
综上所述，正确的命题的个数是1个．
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查分段函数的图象与性质，属于中档题．