Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为

 

．

Answer 1

分析：根据过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|BF|=x，而x1+

p

2

=3，x2+

p

2

=1，且x1x2=

p2

4

，(3-

p

2

)(1-

p

2

)=

p2

4

?p=

3

2

，可求得p的值，即求得抛物线的方程．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），作AM、BN垂直准线于点M、N，
则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6?x=1，
而x1+

p

2

=3，x2+

p

2

=1，且x1x2=

p2

4

，
∴(3-

p

2

)(1-

p

2

)=

p2

4

?p=

3

2

，
得y²=3x．
故答案为：y²=3x．

点评：此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．