Question

如图，过抛物线y²=4x焦点的直线依次交抛物线与圆（x-1）²+y²=1于A，B，C，D，则

AB

•

CD

=

1

．

Answer 1

分析：抛物线y²=4x焦点F（1，0）恰好是圆（x-1）²+y²=1的圆心是（1，0），若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，
代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），由此能求出

AB

•

CD

=1．若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线方程与抛物线方程联立，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由韦达定理有x₁x₂=1，由抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，知|

AB

|=|

AF

|-|

BF

|=x₁，|

CD

|=|

DF

|-|

CF

|=x₂，由此能求出

AB

•

CD

=1．

解答：解：∵抛物线y²=4x焦点F（1，0），p=2，
圆（x-1）²+y²=1的圆心是（1，0）半径r=1，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
过抛物线y²=4x的焦点F的直线依次交抛物线及圆（x-1）²+y²=1于点A，B，C，D，
A，D在圆上，B，C在抛物线上
1．若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，
代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），
所以

AB

=(0，-1)，

CD

=(0，-1)，

AB

•

CD

=1．
2．若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-1），
因为直线过抛物线的焦点（1，0）
不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
过AB分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由韦达定理有x₁x₂=1，
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，
所以|

BF

|=|

CF

|=r=1，
从而有|

AB

|=|

AF

|-|

BF

|=x₁，
|

CD

|=|

DF

|-|

CF

|=x₂，
∵A，B，C，D四点共线，
∴

AB

•

CD

=|

AB

|•|

CD

|=x₁x₂=1．

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．