Question

求数列a，2a²，3a³，4a⁴，…，naⁿ，…（a为常数，且a≠1，a≠0）的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：数列{naⁿ}是由数列{n}与{aⁿ}对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，但要注意应按以三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况即可求解．

解答： 解：a为常数，且a≠1，a≠0，
S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ，
∴aS_n=a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹，
∴（1-a） S_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a-an+1

1-a

-naⁿ⁺¹．
∴S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

（a≠1）．
数列a，2a²，3a³，4a⁴，…，naⁿ，…（a为常数，且a≠1，a≠0）的前n项和S_n为：

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

（a≠1）．

点评：本题主要考查了错位相减求解数列的和，错位相减适合等差数列与等比数列的积构成的数列，（课本中的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意本题中含有参数时，要分类讨论．