Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f(x)=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

；②f（3x）=3f（x）．
（i）f（6）=

3

；
（ii）若函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次记为x₁，x₂，…，x_n，…，则当a∈（1，3）时，x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=

6（3ⁿ-1）

．

Answer 1

分析：（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2-1=1，即可得到f（6）．
（ii）如图所示，由题意当x∈[0，1）时，不必考虑．利用已知可得：当x∈[3，6]时，由

x

3

∈[1，2]，可得f(x)=3f(

x

3

)，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）-a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂=2×6，依此类推：x₃+x₄=2×18，…，x_2n-1+x_2n=2×2×3ⁿ．利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．
（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2-1=1，
∴f（6）=3×1=3．
（ii）当

1

3

≤x＜1时，则1≤3x＜3，由f(x)=

1

3

f(3x)可知：f(x)∈[0，

1

3

]．
同理，当x∈[0，

1

3

)时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．
当x∈[3，6]时，由

x

3

∈[1，2]，可得f(x)=3f(

x

3

)，f（x）∈[0，3]；
同理，当x∈（6，9）时，由

x

3

∈(2，3)，可得f(x)=3f(

x

3

)，f（x）∈[0，3]；
此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．
则F（x）=f（x）-a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂=2×6，
依此类推：x₃+x₄=2×18，…，x_2n-1+x_2n=2×2×3ⁿ．
∴当a∈（1，3）时，x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=4×（3+3²+…+3ⁿ）=4×

3(3n-1)

3-1

=6×（3ⁿ-1）．

点评：本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．