Question

已知数列{a_n}是公差为正的等差数列，其前n项和为S_n，点（n，S_n）在抛物线y=

3

2

x2+

1

2

x上；各项都为正数的等比数列{b_n}满足b1b3=

1

16

，b5=

1

32

．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记C_n=a_nb_n，求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵点（n，S_n）在抛物线y=

3

2

x2+

1

2

x上，
∴Sn=

3

2

n2+

1

2

n，
当n=1时，a₁=S₁=2…（1分）
当n≥2时，Sn-1=

3

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)=

3

2

n2-

5

2

n+1，
∴a_n=S_n-S_n-1=3n-1…（3分）
∴数列{a_n}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-1…（4分）
又∵各项都为正数的等比数列{b_n}满足b1b3=

1

4

，b5=

1

32

，
设等比数列{b_n}的公比为q，
∴b2=b1q=

1

4

，b1q4=

1

32

…（5分）
解得b1=

1

2

，q=

1

2

…（6分）
∴bn=(

1

2

)n…（7分）
（2）由（1）可知Cn=(3n-1)•(

1

2

)n…（8分）
∴Tn=2×

1

2

+5×(

1

2

)2+…+(3n-3)×(

1

2

)n-1+(3n-1)×(

1

2

)n…①…（9分）
∴

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(3n-3)×(

1

2

)n+(3n-1)×(

1

2

)n+1…②…（10分）
②-①知∴

1

2

Tn=1+3[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-(3n-1)×(

1

2

)n+1
=1+3×

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(3n-1)×(

1

2

)n+1=

5

2

-3×(

1

2

)n-(3n-1)×(

1

2

)n+1…（12分）
∴Tn=5-

3n+5

2n

…（13分）