Question

已知，函数，．（的图象连续不断）
(1) 求的单调区间；
(2) 当时，证明：存在，使；
(3) 若存在属于区间的，且，使，证明：．

Answer 1

(Ⅰ) 的单调增区间是，单调减区间是．
(Ⅱ)存在，使．
(Ⅲ)　．

试题分析：(Ⅰ) ，．          2分
令，则．          3分
当变化时，，的变化情况如下表：
　　

	单调递增	极大值	单调递减

所以的单调增区间是，单调减区间是．
.. ...4分
(Ⅱ) 当时，，
由(Ⅰ)知，在单调递增，在单调递减．        5分
令．          ...6分
由于在单调递增，则，因而．     7分
取，则，          ...8分
所以存在，使，即存在，使．   9分
(Ⅲ) 由及的单调性知．    10分
从而在区间上的最小值为．又由，，则　

．      11分
所以     12分
即          13分
所以　　　．          14分
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。本题采用“表解法”，清晰明了。涉及不等式证明问题，往往要转化成研究函数的最值，通过构建a的不等式组，求得a的范围。本题涉及对数函数，要注意函数的定义域。