Question

【题目】设M、N、T是椭圆 上三个点，M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1 ．
（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1 ， k2 ， 求证k1k2为定值．
（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0 ， y0），则h1h2= ， 又 两式相减得 ，
即h1h2= =﹣ ，
（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），s△MNL= ×|r﹣3||yM﹣yN|
= | ．
由于△M1N1L与△MNL面积之比为5且|yM﹣yN|=| ，得
=5 ，r=4（舍去）或r=2．
即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），K（x0 ， y0）
①当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为F（2，0）；
② 当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2），则
联立 ．（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0
．
x0= ．
消去k，整理得（x0﹣1）2+ =1（y0≠0）．
综上所述，点K的轨迹方程为（x﹣1）2+ =1（x＞0）
【解析】（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0 ， y0），则h1h2= ， 又 即可得h1h2（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），根据面积之比得r
即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），K（x0 ， y0）
分①当直线MN垂直于x轴时，②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2）
x0= /span> ． 消去k，整理得（x0﹣1）2+ =1（y0≠0）．