Question

函数f（x）=log

1

2

sin(2x+

π

4

)  在[-

π

2

，

π

2

]上的单调减区间为

（-

π

8

，

π

8

）

．

Answer 1

分析：首先根据对数的真数大于0，解不等式sin（2x+

π

4

）＞0并结合x∈[-

π

2

，

π

2

]，得到函数的定义域为（-

π

8

，

3π

8

）．然后根据复合函数单调性法则可得函数在区间（-

π

8

，

π

8

）是减函数，得到本题答案．

解答：解：函数的定义域满足{x|sin（2x+

π

4

）＞0}，
即{x|2kπ＜2x+

π

4

＜2kπ+π，k∈Z}，解之得{x|kπ-

π

8

＜x＜2kπ+

3π

8

，k∈Z}，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴取k=0，得函数的定义域为（-

π

8

，

3π

8

）
∵0＜

1

2

＜1，当x∈（-

π

8

，

π

8

）时，t=sin（2x+

π

4

）是增函数．
∴当x∈（-

π

8

，

π

8

）时，y=log

1

2

t是减函数，
由此可得f（x）=log

1

2

sin(2x+

π

4

)  在[-

π

2

，

π

2

]上的单调减区间为（-

π

8

，

π

8

）
故答案为：（-

π

8

，

π

8

）

点评：本题给出含有三角函数的对数型函数，求函数在[-

π

2

，

π

2

]上的单调减区间．着重考查了三角函数的图象与性质、对数函数的单调性和复合函数单调性法则等知识，属于中档题．