Question

（2013•茂名二模）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列命题：
①函数f（x）=log 

1

2

x为（0，+∞）上的高调函数；
②函数f（x）=sinx为R上的高调函数；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；
其中正确的命题的个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：①根据f（x）=log

1

2

x是（0，+∞）的减函数，判定它不是高调函数；
②f（x）=sinx为R上的2π高调函数；
③函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，有

m＞0 -2m+m2≥0

，解得m的取值范围；

解答：解：对于①，f（x）=log

1

2

x是（0，+∞）上的减函数，不是高调函数；
对于②，∵sin（x+2π）≥sinx，
∴函数f（x）=sinx为R上的2π高调函数；
对于③，∵如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，则有

m＞0 -2m+m2≥0

；
∴m≥2，∴实数m的取值范围是[2，+∞）；
综上，正确的命题序号是②③．
故选：C．

点评：本题考查了函数单调性的判断与说明，以及基本初等函数的性质，对于一个新定义的概念，解题时要注意理解与把握．