Question

已知向量

a

=（cosωx，cosωx），

b

=（

3

sinωx，cosωx），其中0＜ω＜2，f（x）=

a

•

b

+

1

2

，其图象的一条对称轴为x=

π

6

．
（1）求f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为其面积，若f(

A

2

)=2 ， b=2 ， S=2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积运算公式和三角恒等变换公式，化简得

a

•

b

=sin（ωx+

π

6

）+

1

2

，从而f（x）=sin（ωx+

π

6

）+1．根据三角函数图象的对称轴公式算出ω=2，即可得到f（x）=sin（2x+

π

6

）+1；
（2）由（1）中求出的表达式，得f（

A

2

）=sin（A+

π

6

）+1=2，可得sin（A+

π

6

）=1，结合A为三角形内角解出A=

π

3

．根据三角形的面积公式，结合b=2且△ABC的面积S=2

3

，算出c=4．最后利用余弦定理即可算出边a的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cosωx，cosωx），

b

=（

3

sinωx，cosωx），
∴

a

•

b

=

3

sinωxcosωx+cosωx•cosωx
=

3

2

sinωx+

1

2

（1+cos2ωx）=sin（ωx+

π

6

）+

1

2

因此，f（x）=

a

•

b

+

1

2

=sin（ωx+

π

6

）+1
令ωx+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），得ωx=

π

3

+kπ（k∈Z），
∵图象的一条对称轴为x=

π

6

，∴ω•

π

6

=

π

3

+kπ（k∈Z），
由0＜ω＜2，取k=0得ω=2
因此，f（x）的表达式为：f（x）=sin（2x+

π

6

）+1；
（2）由（1）得f（

A

2

）=sin（A+

π

6

）+1=2，可得sin（A+

π

6

）=1
∴A+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），结合A为三角形内角得A=

π

3

∵b=2，△ABC的面积S=2

3

∴

1

2

bcsinA=2

3

，即

1

2

×2×c×sin

π

3

=2

3

，可得c=4
由余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA=4+16-2×2×4×

1

2

=12
∴a=2

3

（舍负）

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求函数表达式并依此解三角形ABC．着重考查了向量的数量积、三角函数的图象与性质和余弦定理等知识，属于中档题．