Question

16．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin2x，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}$，cos2x），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）试用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象（要求列表）；
（Ⅱ）求方程f（x）=m（0＜m＜1）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{35π}{12}$]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积求出f（x）的表达式，然后利用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象；
（Ⅱ）利用函数f（x）=m在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{35π}{12}$]内对称性，求出相应的对称轴，进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），…（2分）
列对应值表如下：

2x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
f（x）	0	1	0	-1	0

…（4分）
通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数f（x）在一个周期内的图象如下图所示：
…（6分）
（Ⅱ）∵y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的周期t=π，
∴y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{35π}{12}$]内有3个周期． …（7分）
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
即函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的对称轴为x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．…（8分）
又x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{35π}{12}$]，则2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{11π}{2}$]，且0＜m＜1，
∴f（x）=m（0＜m＜1）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{35π}{12}$]内有6个实根，…（9分）
不妨从小到大依次设为x_i，（i=1，2，3，4，5，6），

则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{5π}{12}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=$\frac{17π}{12}$，$\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}$=$\frac{29π}{12}$

即x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，x₃+x₄=$\frac{17π}{6}$，x₅+x₆=$\frac{29π}{6}$，
∴所有实数根之和=x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=$\frac{5π}{6}$+$\frac{17π}{6}$+$\frac{29π}{6}$=$\frac{17π}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查三角函数的图象做法，要掌握五点法作图，同时利用三角函数的对称性是解决本题的关键．