Question

（本小题满分12分）
如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.
（I）求出该几何体的体积；
（II）求证：EM∥平面ABC；
  （III）试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面？若存在，确定点N的位置；    若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

略

解法一：由题意，Ea⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE//DC，AE=2，
DC=4，AB⊥AC，且AE=AC=2，
（I）∵EA⊥平面ABC，∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,
   ∴ab⊥平面acde ,                …………2分
∴四棱锥b-acde的高h=ab=2，梯形acde的面积S= 6
∴，
即所求几何体的体积为4   ………………４分

  （II）证明：∵m为db的中点，取bc中点G，连接em,mG,aG，
∴ mG∥DC，且
∴ mG   ae，∴四边形aGme为平行四边形，……6分
∴em∥aG,又AG平面ABC  
AG平面ABC，
∴EM∥平面ABC.……8分
（III）由（II）知，em∥aG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD                10分
在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N,
∴MN⊥平面BDE 点n即为所求的点 ………………10分
∵∽

∴边DC上存在点N，满足DN=DC时，

有MN⊥平面BDE.        …………12分
解法二：（I）（同解法一） …………4分
（II）由（I）知EA⊥AB，EA⊥AC，AB⊥AC。
∴以A为原点如图建立空间直角坐标系A—xyz ………5分
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
D（0，2，4），M（1，1，2），
 …………6分
显然，为平面ABC的法向量，
且="0 " …………7分

∴EM∥平面ABC.         ……8分
（III）由（II）得，
设在棱DC上存在点，使MN⊥平面BDE，
则 …………9分
由 …………11分
∴在棱DC上存在点N（0，2，1），使MN⊥平面BDE.        …………12分