Question

用向量法证明：三角形的三条高线交于一点.

Answer 1

证明：如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，设BE、CF交于点H.

证法一：设=a，=b，=h，

则=h-a，=h-b，=b-a，

∵⊥，⊥，

∴(h-a)·b=0，(h-b)·a=0.

∴(h-a)·b=(h-b)·a.

化简得h·(b-a)=0.

∴⊥.∴AH与AD重合，即AD、BE、CF交于一点.

证法二：设=a，=b，=c，则=b-a，=c-a，=b-c，

∵⊥，⊥，∴b·(c-a)=0，c·(b-a)=0.

∴b·(c-a)=c·(b-a).∴a·b=a·c，即a·(b-c)=0.

∴⊥，故AD、BE、CF交于一点.