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已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0的圆心为C,直线l:y=x+b,圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍.
(1)若b=4,求直线l被C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心C下方的圆的切线,求b的取值范围.
(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a,
∵圆心C到坐标原点O的距离不大于圆C半径的2倍.
2
a≤2×2
a
,∴0<a≤8,
则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2
a

直线l的方程化为:x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是=
|4-2a|
2
=
2
×
|2-a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L,由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是:
L=2
(2
a
)
2
-(
2
|2-a|)
2
=2
-2a2+12a-8
=2
-2(a-3)2+10

∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2
10

(2)因为直线l与圆C相切,则有
|b-2a|
2
=2
a
,即|b-2a|=2
2a

又点C在直线l的上方,∴a>-a+b,即2a>b.
∴2a-b=2
2a
,∴b=(
2a
-1)
2
-1.
∵0<a≤8,∴0<
2a
≤4,
∴b∈[-1,8].
b的取值范围是[-1,8].
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3
3
,最小值-
3
3
B.k有最大值
1
2
,最小值-
1
2
C.k有最大值0,最小值-
3
3
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1
2

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y
x
=(  )
A.
3
3
B.
3
3
或-
3
3
C.
3
D.
3
或-
3

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A.6B.4C.3D.2

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