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    如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

     (Ⅰ)求证：BD⊥平面POA；

    (Ⅱ)记三棱锥P- ABD体积为V1，四棱锥P—BDEF体积为V2．求当PB取得最小值时的V1：V2值．

     

    【答案】

    （Ⅰ）证明：在菱形中，∵　，∴　.1分

    ∵  ，∴,

    ∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，

    ∴　平面,  2分

    ∵  平面，∴　.3分

    ∵  ，所以平面.4分

    （Ⅱ）连结，设.

    由（Ⅰ）知，．∵　，，

    ∴　，．5分设（）．

    由（Ⅰ）知，平面,故为直角三角形．

    ∴　，

    ∴　7分

    当时，取得最小值，此时为中点．8分

    ∴　，9分

    ∴　，10分

    ∴　． 11分

    ∴  ．

    ∴　当取得最小值时，的值为．

    【解析】略

     

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    如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则
    AE
    •
    BD
    的值为
    4
    4
    ．

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    （2012•福州模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
    （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2．求当PB取得最小值时的V1：V2值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•茂名二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED

    （1）求证：BD⊥平面POA
    （2）当点O 在何位置时，PB取得最小值？
    （3）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•茂名二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
    （1）求证：BD⊥平面POA
    （2）设AO∩BD=H，当O为CH中点时，若点Q满足
    AQ
    =
    QP
    ，求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•汕头二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABEFD．
    （1）求证：BD⊥平面POA；
    （2）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2，且
    V1
    V2
    =
    4
    3
    ，求此时线段PO的长．

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