Question

设点G是△ABC的重心，GA=2

3

，GB=2

2

，GC=2，则△ABC的面积=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：设三边上中线分别为AD，BE，CF，三中线交与一点记为G，延长AD至M使DM=DG，连接CM，易得CM=BG=

2

3

BE；MG=AG=

2

3

AD；CG=

2

3

CF，即三中线为边的S△=

9

4

S_△CMG=

9

4

×

1

3

S_△ABC=

3

4

△ABC，先求三中线为边的S△，即可求得△ABC的面积．

解答： 解：如图：
设三边上中线分别为AD，BE，CF，三中线交与一点记为G，延长AD至M使DM=DG，连接CM 
容易得到：CM=BG=

2

3

BE；MG=AG=

2

3

AD；CG=

2

3

CF 
则由三中线为边的S△就是△CMG面积的

9

4

，
而S_△CMG=S_△CMD+S_△CDG=S_△CDG+S_△BDG=S_△CBG=

1

3

S_△ABC 
即三中线为边的S△=

9

4

S_△CMG=

9

4

×

1

3

S_△ABC=

3

4

△ABC．
BC边上的中线长为：AD=

3

2

GA=2

3

×

3

2

=3

3

AC边上的中线长为：BE=

3

2

GB=2

2

×

3

2

=3

2

AB边上的中线长为：CF=

3

2

GC=2×

3

2

=3
因为：CF²+BE²=AD²
所以：三条中线构成的是Rt△，S△=

1

2

×CF×BE=

1

2

×3×3

2

=

9 2

2

由上可知：S_△ABC=

9 2

2

×

4

3

=6

2

．
故答案为：6

2

．

点评：本题主要考查了三角形中重心、勾股定理、面积公式的应用，属于中档题．