Question

（2011•海淀区二模）已知函数f(x)=

sinx

x

（1）判断下列三个命题的真假：
①f（x）是偶函数；②f（x）＜1；③当x=

3

2

π时，f（x）取得极小值．
其中真命题有

①②

；（写出所有真命题的序号）
（2）满足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)的正整数n的最小值为

9

．

Answer 1

分析：（1）对于①，考察证明f（-x）与f（x）的关系得证；对于②针对函数f(x)=

sinx

x

的性质，只须考虑当0＜x＜

π

2

时的函数值即可，再利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx＜x．对于③，利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数，然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论．
（2）分别令n=1，2，3，4，5，…，9．求出f(

nπ

6

)，f(

nπ

6

+

π

6

)函数值，再比较大小即可得出答案．

解答： （1）证明：函数f(x)=

sinx

x

的定义域为x≠0，
当x≠0时，f(-x)=

sin(-x)

-x

=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x），
∴f（x）是偶函数；①正确；
对于②，针对函数f(x)=

sinx

x

的性质，只须考虑当0＜x＜

π

2

时的函数值即可，
如图，在单位圆中，有sinx=MA，
连接AN，则S_△OAN＜S_扇形OAN，
设

AN

的长为l，则x=

l

r

=l，
∴

1

2

ON•MA＜

1

2

ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f(x)=

sinx

x

＜1，②正确；
f′(x)=

(sinx)′x-sinx•x′

x2

=

xcosx-sinx

x2

令

xcosx-sinx

x2

=0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但当x=

3

2

π时，不满足tanx=x，
故当x=

3

2

π时，f（x）取不到极小值，故③错．
故答案为：①②．
（2）当n=1时，

nπ

6

=

π

6

，

nπ

6

+

π

6

=

π

3

，不满足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)；

当n=2时，

nπ

6

=

π

3

，

nπ

6

+

π

6

=

π

2

，不满足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)；
…
当n=8时，

nπ

6

=

4π

3

，

nπ

6

+

π

6

=

3π

2

，不满足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)；
当n=9时，

nπ

6

=

3π

2

，

nπ

6

+

π

6

=

5π

3

，满足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)．
故满足f(

nπ

6

)＜f(

nπ

6

+

π

6

)的正整数n的最小值为 9．
故答案为：9．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值、函数单调性、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．