Question

已知

a

=（

3

cosx，cosx-1），

b

=（sinx，cosx+1），函数f（x）=

a

•

b

+

1

2

（x∈R）
（1）求函数f（x）的周期；
（2）函数f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析：（1）由

a

=（

3

cosx，cosx-1），

b

=（sinx，cosx+1），函数f（x）=

a

•

b

+

1

2

（x∈R），知f（x）=sin（2x+

π

6

），由此能求出f（x）的最小正周期．
（2）把y=sinx的图象上所有的点向左平移

π

6

个单位，再把得到函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的

1

2

（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+

π

6

）的图象．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

cosx，cosx-1），

b

=（sinx，cosx+1），函数f（x）=

a

•

b

+

1

2

（x∈R），
∴f（x）=

3

cosxsinx+（cosx-1）（cosx+1）+

1

2

=

3

cosxsinx+cos2x-1+

1

2

=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x
=sin（2x+

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）把y=sinx的图象上所有的点向左平移

π

6

个单位，
得到函数y=sin（x+

π

6

）的图象，
再把y=sin（x+

π

6

）的图象上所有的点的横坐标变为原来的

1

2

（纵坐标不变），
得到函数y=sin（2x+

π

6

）的图象．（12分）

点评：本题考查三角函数恒等变换的应用，考查三角函数图象的平移变换，解题时要认真审题，仔细解答．