Question

4．求函数f（x）=（tan3x-tanx）（sin2x-sin4x） 的值域．

Answer 1

分析 利用二倍角，三倍角，四倍角公式，化简函数的解析式为f（x）=$\frac{4si{n}^{4}x-4si{n}^{2}x}{1-4{sin}^{2}x}$，令t=sin²x，则t∈[0，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，1]，y=f（x）=$\frac{4{t}^{2}-4t}{1-4t}$，利用导数法，分析函数的单调性，进而可得函数的值域．

解答 解：∵f（x）=（tan3x-tanx）（sin2x-sin4x）
=（$\frac{3tanx-{tan}^{3}x}{1-3{tan}^{2}x}$-tanx）[2sinxcosx+4（cosx•sinx•（2sin²x-1）]
=$\frac{2tanx+2{tan}^{3}x}{1-3{tan}^{2}x}$•（2sin³xcosx-2sinxcosx）
=$\frac{2sinx（{cos}^{2}x{+sin}^{2}x）}{cosx（{cos}^{2}x-3{sin}^{2}x）}$•（2sin³xcosx-2sinxcosx）
=$\frac{2sinx}{cosx（{cos}^{2}x-3{sin}^{2}x）}$•（2sin³xcosx-2sinxcosx）
=$\frac{4si{n}^{4}x-4si{n}^{2}x}{{cos}^{2}x-3{sin}^{2}x}$
=$\frac{4si{n}^{4}x-4si{n}^{2}x}{1-4{sin}^{2}x}$
令t=sin²x，则t∈[0，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，1]，y=f（x）=$\frac{4{t}^{2}-4t}{1-4t}$，
∵y′=$\frac{-16{t}^{2}+8t-4}{（1-4t）^{2}}$＜0在t∈[0，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，1]时，恒成立，
故y=$\frac{4{t}^{2}-4t}{1-4t}$在[0，$\frac{1}{4}$）和（$\frac{1}{4}$，1]上均为减函数，
又由当t=0和t=1函数值均为0，
故t∈[0，$\frac{1}{4}$）时，y∈（-∞，0]，
t∈（$\frac{1}{4}$，1]时，y∈[0，+∞），
故函数的值域为R．

点评 本题考查的知识点是二倍角，三倍角，四倍角公式，换元法，本题转化困难，运算量大，属于难题．