Question

中心在原点的椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）椭圆E上是否存在一点P，使得过P点的两条斜率之积，与圆C相切？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定x²+y²-4x+2=0的圆心C（2，0），可得c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E的方程；
（2）设P（x，y），l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则k₁k₂=，由l₁与圆C：x²+y²-4x+2=0相切，可得k₁，k₂是方程[（2-x）²-2]k²+2（2-x）yk+y²-2=0的两个实根，结合P在椭圆上，即可求得结论．
解答：解：（1）由x²+y²-4x+2=0得（x-2）²+y²=2，∴圆心C（2，0）
∵椭圆的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心，离心率为．
∴c=2，=，∴a=4，
∴b²=a²-c²=12
∴椭圆E的方程为；
（2）设P（x，y），l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则l₁：y-y=k₁（x-x），l₂：y-y=k₂（x-x），且k₁k₂=
由l₁与圆C：x²+y²-4x+2=0相切得=
∴[（2-x）²-2]k₁²+2（2-x）yk₁+y²-2=0
同理可得[（2-x）²-2]k₂²+2（2-x）yk₂+y²-2=0
从而k₁，k₂是方程[（2-x）²-2]k²+2（2-x）yk+y²-2=0的两个实根
所以①，且k₁k₂==
∵，
∴5x2-8x-36=0，
∴x=-2或x=
由x=-2得y=±3；由x0=得y=±满足①
故点P的坐标为（-2，3）或（-2，-3），或（，）或（，-）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，解题的关键是确定k₁，k₂是方程[（2-x）²-2]k²+2（2-x）yk+y²-2=0的两个实根．