Question

中心在原点的椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心，离心率为

1

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）椭圆E上是否存在一点P，使得过P点的两条斜率之积为

1

2

的两条直线l1、l2，与圆C相切？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定x²+y²-4x+2=0的圆心C（2，0），可得c=2，利用离心率为

1

2

，即可求得椭圆E的方程；
（2）设P（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则k₁k₂=

1

2

，由l₁与圆C：x²+y²-4x+2=0相切，可得k₁，k₂是方程[（2-x₀）²-2]k²+2（2-x₀）y₀k+y₀²-2=0的两个实根，结合P在椭圆上，即可求得结论．

解答：解：（1）由x²+y²-4x+2=0得（x-2）²+y²=2，∴圆心C（2，0）
∵椭圆的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心，离心率为

1

2

．
∴c=2，

c

a

=

1

2

，∴a=4，
∴b²=a²-c²=12
∴椭圆E的方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）设P（x₀，y₀），l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，则l₁：y-y₀=k₁（x-x₀），l₂：y-y₀=k₂（x-x₀），且k₁k₂=

1

2

由l₁与圆C：x²+y²-4x+2=0相切得

|2k1+y0-k1x0|

k12+1

=

2

∴[（2-x₀）²-2]k₁²+2（2-x₀）y₀k₁+y₀²-2=0
同理可得[（2-x₀）²-2]k₂²+2（2-x₀）y₀k₂+y₀²-2=0
从而k₁，k₂是方程[（2-x₀）²-2]k²+2（2-x₀）y₀k+y₀²-2=0的两个实根
所以

(2-x0)2-2≠0 △＞0

①，且k₁k₂=

y02-2

(2-x0)2-2

=

1

2

∵

x02

16

+

y02

12

=1，
∴5x₀2-8x₀-36=0，
∴x₀=-2或x₀=

18

5

由x₀=-2得y₀=±3；由x0=

18

5

得y₀=±

57

5

满足①
故点P的坐标为（-2，3）或（-2，-3），或（

18

5

，

57

5

）或（

18

5

，-

57

5

）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，解题的关键是确定k₁，k₂是方程[（2-x₀）²-2]k²+2（2-x₀）y₀k+y₀²-2=0的两个实根．