Question

某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的4位数N=n₁，n₂，n₃，n₄，其中N的各位数字中n₁=1，n₄是随机（等可能性）地出现0或1，而n₂和n₃出现0的概率为

3

5

，出现1的概率为

2

5

，记ξ=n₁+n₂+n₃+n₄
（1）求ξ=3时的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）利用互斥事件乘法公式能求出P（ξ=3）．
（2）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）P（ξ=3）=

2

5

×

2

5

×

1

2

+

3

5

×

2

5

×

1

2

+

2

5

×

3

5

×

1

2

=

13

25

．
（2）由已知得ξ的可能取值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=

3

5

×

3

5

×

1

2

=

9

50

，
P（ξ=2）=

2

5

×

3

5

×

1

2

+

3

5

×

2

5

×

1

2

+

2

5

×

2

5

×

1

2

=

13

25

，
P（ξ=3）=

2

5

×

2

5

×

1

2

+

3

5

×

2

5

×

1

2

+

2

5

×

3

5

×

1

2

=

13

25

，
P（ξ=4）=

3

5

×

3

5

×

1

2

=

9

50

，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	9 50	13 25	13 25	9 50

Eξ=1×

9

50

+2×

13

25

+3×

13

25

+4×

9

50

=

7

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．