Question

设函数y=f(x)对任意实数x，都有f(x)=2f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x²(1-x).

(Ⅰ)已知n∈N+，当x∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式；

(Ⅱ)求证：对于任意的n∈N+，当x∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤；

(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞，若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)=(x-1)，x∈[n,n+1]，则(x-n)∈[0,1]

→f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). f(x)=f(x-1)=f(x-2)=…=f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). (n=0也适用). ………………4分

        (Ⅱ)f(x)=，由f(x)=0得x=n或x=n+

x	n	(n,n+)	n+	(n+,n+1)	n+1
f(x)		＋	0	－	＋
	0	↗	极大	↘	0

          f(x)的极大值为f(x)的最大值，，

又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0，∴|f(x)|=f(x)≤(x∈[n,n+1]).…8分

       (Ⅲ)y=f(x)，x∈[0,+∞即为y=f(x)，x∈[n,n+1]，f(x)=-1.

          本题转化为方程f(x)=-1在[n,n+1]上有解问题

即方程在[n,n+1]内是否有解. ……11分

令g(x)=，

对轴称x=n+∈[n,n+1]，

又△=…=，g(n)=，g(n+1)=，

①当0≤n≤2时，g(n+1)≥0，∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解，即存在三个点P；

②n≥3时，g(n+1)<0，方程g(x)=0在[n,n+1]上无解，即不存在这样点P.

综上所述：满足条件的点P有三个. …………………………16分