(本题满分16分)设函数y=f(x)对任意实数x,都有f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1]时,f(x)=x2(1-x).
(Ⅰ)已知n∈N+,当x∈[n,n+1]时,求y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求证:对于任意的n∈N+,当x∈[n,n+1]时,都有|f(x)|≤;
(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞,若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,那么这样点有多少个?并说明理由
解:(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)=(x-1),x∈[n,n+1],则(x-n)∈[0,1]
→f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). f(x)=f(x-1)=f(x-2)=…=f(x-n)=(x-n)2(1+n-x). (n=0也适用). ………………4分
(Ⅱ)f(x)=,由f(x)=0得x=n或x=n+
x |
n |
(n,n+) |
n+ |
(n+,n+1) |
n+1 |
f(x) |
|
+ |
0 |
- |
+ |
|
0 |
↗[来源:学&科&网] |
极大 |
↘ |
0 |
f(x)的极大值为f(x)的最大值,,
又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0,∴|f(x)|=f(x)≤(x∈[n,n+1]).…8分
(Ⅲ)y=f(x),x∈[0,+∞即为y=f(x),x∈[n,n+1],f(x)=-1.
本题转化为方程f(x)=-1在[n,n+1]上有解问题
即方程在[n,n+1]内是否有解. ……11分
令g(x)=,
对轴称x=n+∈[n,n+1],
又△=…=,g(n)=,g(n+1)=,
①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解,即存在三个点P;
②n≥3时,g(n+1)<0,方程g(x)=0在[n,n+1]上无解,即不存在这样点P.
综上所述:满足条件的点P有三个. …………………………16分
【解析】略
科目:高中数学 来源:2010年江苏省海门中学高一下学期期末考试数学卷 题型:解答题
(本题满分16分)
设正项等差数列的前n项和为,其中.是数列中满足的任意项.
(1)求证:;
(2)若也成等差数列,且,求数列的通项公式;
(3)求证:.
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科目:高中数学 来源:2010年江苏省盐城中学高一下学期期末考试数学卷 题型:解答题
(本题满分16分)
设是圆心在抛物线上的一系列圆,它们的圆心的横坐标分别记为,已知,又都与轴相切,且顺次逐个相邻外切. WWW.K**S*858$$U.COM
(1)求;
(2)求由构成的数列的通项公式;
(3)求证:.
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科目:高中数学 来源:2010年江苏省范集中学高一下学期期末考试数学卷 题型:解答题
(本题满分16分)
设数列满足,令.
⑴试判断数列是否为等差数列?并说明理由;
⑵若,求前项的和;
⑶是否存在使得三数成等比数列?
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科目:高中数学 来源:2013届江苏省南通市高二期中联考数学试卷 题型:解答题
(本题满分16分)设椭圆的左,右两个焦点分别为,短轴的上端点为,短轴上的两个三等分点为,且为正方形。
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过点作此正方形的外接圆的切线在轴上的一个截距为,求此椭圆方程。
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科目:高中数学 来源:江苏省淮安市淮阴区2009-2010学年度第二学期期末高一年级调查测试数学试题 题型:解答题
(本题满分16分)
设数列的前项和为,若对任意,都有.
⑴求数列的首项;
⑵求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
⑶数列满足,问是否存在,使得恒成立?如果存在,求出 的值,如果不存在,说明理由.
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