Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{{{（x-a）}^2}}}{lnx}$（其中a为常数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）a≥$\frac{1}{2}$且函数f（x）有3个极值点，求a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解根据导函数的方程，列出表格，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为$2lnx+\frac{a}{x}-1=0$在（0，1）∪（1，+∞）有两不相等的实根，设函数$h（x）=2lnx+\frac{a}{x}-1$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
∵$f'（x）=\frac{{x（{2lnx-1}）}}{{{{ln}^2}x}}$…..（1分）
令f'（x）=0可得$x=\sqrt{e}$．列表如下：

x	（0，1）	$（{1，\sqrt{e}}）$	$\sqrt{e}$	$（{\sqrt{e}，+∞}）$
f'（x）	-	-	0	+
f（x）	减	减	极小值	增

单调减区间为（0，1）和$（{1，\sqrt{e}}）$；增区间为$（{\sqrt{e}，+∞}）$…..（3分）
（Ⅱ）由$f'（x）=\frac{{（{x-a}）（{2lnx+\frac{a}{x}-1}）}}{{{{ln}^2}x}}$…..（4分）
当$a≥\frac{1}{2}且a≠1$∴x=a为f'（x）=0的一个根，即一个极值点，…..（5分）
∵$2lna+\frac{a}{a}-1=2lna≠0$，且f（x）在定义域内有三个极值点，
∴$2lnx+\frac{a}{x}-1=0$在（0，1）∪（1，+∞）有两不相等的实根…..（6分）
设函数$h（x）=2lnx+\frac{a}{x}-1$，有$h'（x）=\frac{2x-a}{x^2}$，
∴函数h（x）在$（{0，\frac{a}{2}}）$上单调递减，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上单调递增，…..（8分）
从而${h_{min}}（x）=h（\frac{a}{2}）=2ln\frac{a}{2}+1＜0$，所以$a＜\frac{2}{{\sqrt{e}}}$，…..（9分）
∵$\frac{2}{{\sqrt{e}}}=\sqrt{\frac{4}{e}}＜1$，$h（1）=2ln1+\frac{a}{1}-1=a-1≠0$，
且$h（\sqrt{e}）=2ln\sqrt{e}+\frac{a}{{\sqrt{e}}}-1=\frac{a}{{\sqrt{e}}}＞0$，$h（{e^{-4}}）=2ln{e^{-4}}+a{e^4}-1=a{e^4}-9≥\frac{e^4}{2}-9＞0$…..（10分）
∴满足函数h（x）在$（{0，\frac{a}{2}}）$和$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上各有一个零点，
当a=1时，显然$h（x）=2lnx+\frac{a}{x}-1$没有三个零点，…..（11分）
∴$\frac{1}{2}≤a＜\frac{2}{{\sqrt{e}}}$…..（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．