Question

已知椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，长轴是短轴的2倍，且椭圆E过点(

2

，

2

2

)；斜率为k（k＞0）的直线l过点A（0，2），

n

为直线l的一个法向量，坐标平面上的点B满足条件|

n

•

AB

|=|

n

|．
（1）写出椭圆E方程，并求点B到直线l的距离；
（2）若椭圆E上恰好存在3个这样的点B，求k的值．

Answer 1

分析：（1）首先由长轴是短轴的2倍得a、b的一个方程，然后根据椭圆E过点（

2

，

2

2

）得a、b的另一个方程，则解方程组求得a、b，进而求得椭圆E的方程；由直线l过点A（0，2），且斜率为k（k＞0），设其斜截式为y=kx+2，然后取该直线的一个法向量（k，-1），再设点B的坐标为B（x₀，y₀），则根据|

n

•

AB

|=|

n

|得k、x₀、y₀间关系式，而点B（x₀，y₀）到直线y=kx+2的距离

|kx0-y0+2|

1+k2

恰好由前面k、x₀、y₀间的关系式变形可得，则问题解决．
（2）由（1）知，椭圆E上恰好存在3个这样的点B，表示与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点，则其中一条必与椭圆E相切，把它作为问题的切入点，则由该直线方程y=kx+t与椭≥圆方程

x2

4

+ y2 =1联立方程组，根据△=0可求得k、t的一个关系式，再由两平行线间距离公式得k、t的另一个关系式，则解方程组求得k、t，最后注意检验把不符号要求的答案舍去．

解答：解：（1）由题意得

a=2b 2 a2 + 1 2 b2 =1

解得a²=4，b²=1，
∴椭圆E方程为：

x2

4

+y2=1．
直线l的方程为y=kx+2，其一个法向量

n

=(k，-1)，设点B的坐标为B（x₀，y₀），由

AB

=(x0，y0-2)及|

n

•

AB

|=|

n

|得|kx0-y0+2|=

1+k2

，
∴B（x₀，y₀）到直线y=kx+2的距离为d=

|kx0-y0+2|

1+k2

=1．
（2）由（1）知，点B是椭圆E上到直线l的距离为1的点，即与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点．
设与直线l平行的直线方程为y=kx+t
由

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）=16（1+4k²-t²）①
当△=0时，k2=

t2-1

4

②
又由两平行线间的距离为1，可得

|t-2|

1+k2

=1③
把②代入③得(t-2)2=1+

t2-1

4

，即3t²-16t+13=0，（3t-13）（t-1）=0
解得t=1，或t=

13

3

当t=1时，代入②得k=0，与已知k＞0不符，不合题意；
当t=

13

3

时，代入②得k=

2 10

3

，代回③得t=

13

3

或t=

1

3

当k=

2 10

3

，t=

1

3

时，由①知△＞0
此时两平行线y=

2 10

3

x+

13

3

和y=

2 10

3

x+

1

3

，与椭圆E有三个交点，
∴k=

2 10

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程及点到线的距离公式，同时综合考查直线与椭圆的位置关系问题．