Question

已知函数．
（1）求t的值；
（2）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（3）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（4）是f（x）的最小值
对f（x）求导，有f'（x）=（），
∴x=4时，f'（x）=0，∴=0，∴t=3；
（2）f'（x）==
∴在x∈（3，4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调减，在x∈（4，7）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调增
∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了
∵f（3）=ln5，f（7）=
∴f（3）＞f（7），∴x=3时，f（x）在[3，7]上取得最大值，为ln5；
（3）F′（x）=-f′（x）=≥0在（2，+∞）上恒成立
∴≥0在（2，+∞）上恒成立
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情况讨论（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1=0时（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1＞0时，又有两种情况：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-≤2且（a-1）×2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，无解；由②得a≥-，a-1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．
分析：（1）f（4）是f（x）的最小值，求导函数，即可求得结论；
（2）令导函数等于0求出x的值，判断函数的单调性，进而可求出最大值．
（3）对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围
点评：本题考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．