Question

已知函数f（x）的图象是在[a，b]上连续不断的曲线，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）判断f（x）是否为上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可得，．…
（2）f₂（x）-f₁（x）=2sinx．…
若f（x）是为上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在上恒成立…
且，使得2sinx＞（k-1）x成立．…
令，则φ′（x）=cosx-1＜0．…
∴φ（x）=sinx-x在单调递减，
∴，即sinx-x≤0…
于是2sinx≤2x在恒成立．
又，2sinx＞x成立
故存在最小的正整数k=2，使得f（x）是为上的“k阶收缩函数”…
分析：（1）利用新定义，代入计算，可得f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）由题意，f₂（x）-f₁（x）=2sinx，若f（x）是为上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤kx在上恒成立，且，使得2sinx＞（k-1）x成立，构建新函数φ（x）=sinx-x，判断函数在单调递减，即可求得结论．
点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生对新问题的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．